📝 Soru 1: Üçgenin Alanı ve Kökler
Detaylı Çözüm: Grafikte parabolün x eksenini kestiği noktalar (kökler) -11 ve 1 olarak verilmiştir. Parabol denklemi: y = a(x + 11)(x - 1) olur.
B noktası üçgenin köşesidir ve y ekseni üzerindedir (x=0). Aynı zamanda y = -5 doğrusunun üzerindedir. Yani B noktasının koordinatları (0, -5)'tir. Bu nokta parabolün de üzerindedir.
Denklemde yerine koyalım: -5 = a(0 + 11)(0 - 1) → -5 = -11a → a = 5/11.
A noktası parabol ile y = -5 doğrusunun diğer kesişim noktasıdır: (5/11)(x + 11)(x - 1) = -5 → (x + 11)(x - 1) = -11 → x2 + 10x - 11 = -11 → x2 + 10x = 0. Buradan x = 0 (B noktası) ve x = -10 (A noktası) bulunur.
ABO üçgeninin tabanı AB doğrusudur ve uzunluğu 10 birimdir. Yüksekliği ise orijinden y = -5 doğrusuna inen dikmedir (5 birim).
Alan = (10 * 5) / 2 = 25.
💡 İpucu: Bir şeklin tepe noktalarından biri eksen üzerindeyse, bu noktayı denklemi çözmek için "kilit nokta" olarak kullanın.
⚠️ Dikkat: Üçgenin yüksekliğini bulurken, koordinat düzlemindeki mutlak uzaklığa (y=-5'in orijine uzaklığı 5'tir) bakmalısınız.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: B noktasının tam y ekseni üzerinde olduğunu metinde vermeyip görsel okuma becerinizi test eder.
✅ Yanıt: D (25)
📝 Soru 2: Parabol ve Doğru Kesişimi
Detaylı Çözüm: Parabolün kökleri grafikte -1 ve 5 olarak verilmiştir. y = a(x + 1)(x - 5).
Parabolün minimum değeri (tepe noktası ordinatı) -9'dur. Simetri ekseni r = (-1 + 5)/2 = 2.
x = 2 için y = -9 olmalıdır: -9 = a(2 + 1)(2 - 5) → -9 = -9a → a = 1. Parabol: y = x2 - 4x - 5.
d doğrusu x eksenini -1'de kesiyor ve parabolle x = 6 noktasında kesişiyor. Parabolde x = 6 yazalım: y = (6)2 - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7. Doğru, (-1, 0) ve (6, 7) noktalarından geçiyor. Doğrunun eğimi: (7 - 0)/(6 - (-1)) = 1'dir. Doğru denklemi: y = x + 1.
Taralı alan, y=x+1 doğrusu, x ekseni ve x=5 dikey çizgisi arasında kalan dik üçgendir.
Üçgenin tabanı (-1)'den 5'e kadar 6 birimdir. Yüksekliği x=5 için doğruda y=6 birimdir.
Alan = (6 * 6) / 2 = 18.
💡 İpucu: Taralı alan bir üçgense, parabol formülüyle sadece köşelerin koordinatlarını bulmanız yeterlidir; integral almanıza gerek yoktur.
⚠️ Dikkat: "6" ve "7" değerlerini grafikte nereye ait olduklarını (doğruya mı parabole mi) iyi analiz edin.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Doğru denklemini doğrudan vermeyip, parabol üzerinden elde ettiğiniz noktalarla doğrunun eğimini sizin bulmanızı ister.
✅ Yanıt: B (18)
📝 Soru 3: Teğetlik Durumu ve Diskriminant
Detaylı Çözüm: y = x2 - 6x + k - 6 parabolü x eksenine teğet ise tam kare olmalıdır ve diskriminant (Δ) sıfıra eşittir.
Δ = b2 - 4ac = 0 → (-6)2 - 4(1)(k - 6) = 0
36 - 4k + 24 = 0 → 60 - 4k = 0 → 4k = 60 → k = 15.
💡 İpucu: İkinci bir yol olarak: x2 - 6x ifadesinin tam kare olması için yanına (-6/2)2 = 9 gelmelidir. Yani k - 6 = 9 → k = 15.
⚠️ Dikkat: -4ac işlemini yaparken eksi işaretini parantez içine dağıtırken ( + 24 kısmına ) hata yapmamaya özen gösterin.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Hızlı çözülebilecek bir soru vererek sınavda zaman yönetimi dengenizi ölçer.
✅ Yanıt: E (15)
📝 Soru 4: Köklerin Geometrik Oranı
Detaylı Çözüm: y = x2 - (m+2)x - 18. Grafikte A noktası negatif, B noktası pozitiftir.
2|AO| = |OB| ilişkisi verilmiştir. A noktasının apsisine -k dersek, B noktasının apsisi 2k olur. (k > 0)
Kökler çarpımı formülü: x1 * x2 = c/a → (-k) * (2k) = -18 → -2k2 = -18 → k2 = 9 → k = 3.
Köklerimiz: -3 ve 6'dır.
Kökler toplamı: x1 + x2 = -b/a → -3 + 6 = 3.
Denklemden kökler toplamı: m + 2. Buradan m + 2 = 3 → m = 1.
💡 İpucu: Uzunluk verildiğinde noktaların hangi bölgede (negatif/pozitif) olduğunu işaretleriyle birlikte yazmak hayat kurtarır.
⚠️ Dikkat: A noktasını direkt k olarak alırsanız kökler çarpımını hatalı bulur ve tıkanırsınız.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Mutlak değer içeren uzunluk oranlarını vererek koordinat düzlemindeki negatifliği gözden kaçırmanızı bekler.
✅ Yanıt: A (1)
📝 Soru 5: Simetri Ekseni ve Ordinat
Detaylı Çözüm: f(x) = x2 + (m+1)x - 2m + 1. Simetri ekseni formülü x = -b / 2a'dır.
x = -(m + 1) / 2 = 2 → -m - 1 = 4 → m = -5.
m yerine -5 yazarak parabolün denklemini bulalım:
f(x) = x2 - 4x - 2(-5) + 1 = x2 - 4x + 11.
Parabolün y eksenini kestiği nokta x = 0 için aldığı değerdir (sabit terim c).
f(0) = 11.
💡 İpucu: Simetri ekseni verildiğinde direkt "-b/2a" eşitlemesini yapıp bilinmeyeni bulmalısınız.
⚠️ Dikkat: Sorunun kökü "m kaçtır?" diye sormuyor. Hızlıca m=-5 bulup B şıkkını işaretlemeyin.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Adayın işlem hızını kullanıp sorunun sonunda ne istenildiğini unutmasını (y eksenini kesen nokta) sağlayarak çeldiriciye düşürmek.
✅ Yanıt: E (11)
📝 Soru 6: Parabolik Anıt Modellemesi
Detaylı Çözüm: Görseldeki (St. Louis Arch) anıtın ayakları x ekseninde -2 ve 2 noktalarındadır. Tepe noktası ise y ekseni üzerindedir ve yüksekliği 4'tür. T(0, 4).
Kökleri bilinen denklem: y = a(x - x1)(x - x2) → y = a(x + 2)(x - 2).
x = 0 için y = 4 olmalı: 4 = a(2)(-2) → -4a = 4 → a = -1.
Parabol denklemi: y = -x2 + 4.
Grafikte A noktasının apsisi x = -1 olarak verilmiştir. A'nın ordinatı: y = -(-1)2 + 4 = -1 + 4 = 3.
Koordinat eksenindeki her 1 birim 100 metreye denk geliyorsa, 3 birim = 300 metredir.
💡 İpucu: Orijine göre simetrik kökleri olan (-x, +x) parabollerin b katsayısı her zaman sıfırdır (y = ax2 + c).
⚠️ Dikkat: En sonda bulduğunuz 3 değerini direkt işaretlemeyin, sorudaki "1 br = 100 m" çevrimini uygulayın.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Gerçek hayat problemleri vererek (mimarî vb.) temel bir matematik formülünün anlaşılırlığını test etmek.
✅ Yanıt: B (300)
📝 Soru 7: Eksen Arasında Kalan Parça Uzunluğu
Detaylı Çözüm: f(x) = x2 - 2x - 15. x ekseninin parabol arasında kalan parçası, iki kök arasındaki mesafedir.
Denklemi sıfıra eşitleyip kökleri bulalım: x2 - 2x - 15 = 0 → (x - 5)(x + 3) = 0.
Köklerimiz: x1 = 5 ve x2 = -3.
İki kök arasındaki uzaklık: |5 - (-3)| = |5 + 3| = 8 birimdir.
💡 İpucu: Çarpanlarına ayrılamayan denklemlerde kökler farkı formülünü kullanabilirsiniz: |x1 - x2| = √Δ / |a|.
⚠️ Dikkat: Köklerin işaretlerine dikkat edin. Biri negatif biri pozitif olduğu için uzunluk, mutlak değerlerinin toplamına eşittir.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Basit bir kök bulma sorusunu "eksen arasında kalan parça" gibi geometrik bir cümleyle ifade ederek kafa karıştırmak.
✅ Yanıt: D (8)
📝 Soru 8: Teğet Olma Şartı ve m Değerleri
Detaylı Çözüm: f(x) = mx2 + (m - 1)x + m parabolü x eksenine teğet ise Δ = 0 olmalıdır.
Δ = (m - 1)2 - 4(m)(m) = 0
m2 - 2m + 1 - 4m2 = 0 → -3m2 - 2m + 1 = 0.
Hepsini -1 ile çarpalım: 3m2 + 2m - 1 = 0.
Soru m'nin alabileceği değerler toplamını soruyor. Yeni oluşan bu 2. dereceden denklemin kökler toplamı: -b / a formülünden = -2/3 bulunur.
💡 İpucu: m değerlerinin toplamı sorulduğunda denklemi çarpanlarına ayırarak vakit kaybetmeyin; direkt -b/a yapın.
⚠️ Dikkat: 3m2 + 2m - 1 = 0 denkleminde "a" değeri 3'tür, bu nedenle formülü uygularken 3'e bölmeyi unutmayın.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Öğrencinin karmaşık m denklemini çözmeye çalışırken paniklemesini bekler.
✅ Yanıt: B (-2/3)
📝 Soru 9: Gizli Y Eksen Kesişimi Tuzağı
Detaylı Çözüm: Grafikte kökler -3 ve 1'dir. Tepe noktası T'nin apsisi r = (-3 + 1)/2 = -1'dir.
Grafikte y ekseni üzerindeki "6" değeri çok kritiktir. Kesikli çizgi T noktasından gelse de y-ekseninde tam 6 sayısında bir kesişim vardır. Aslında 6, parabolün y eksenini kestiği noktadır, T'nin ordinatı değildir!
Denklem iskeleti: f(x) = a(x + 3)(x - 1).
y eksenini kestiği nokta (0, 6)'yı kullanalım: 6 = a(3)(-1) → -3a = 6 → a = -2.
Parabolün gerçek denklemi: f(x) = -2(x + 3)(x - 1) olur. (Kontrol ederseniz T'nin asıl ordinatı k = 8 çıkar).
Bizden f(3) isteniyor: f(3) = -2(3 + 3)(3 - 1) = -2(6)(2) = -24.
💡 İpucu: T noktasının hizası her zaman o y değerine karşılık gelmeyebilir. Görselde değer tam y ekseninin üzerinde duruyorsa bu c (sabit) değeridir.
⚠️ Dikkat: Eğer "6" sayısını T'nin k'sı (ordinatı) zannedersek a=-3/2 bulur ve f(3) için -18 (B şıkkı) tuzağına düşeriz.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Kesikli referans çizgilerini bilerek y-kesişim noktasıyla birleştirip, adayın "görsel illüzyona" kapılmasını sağlamak.
✅ Yanıt: A (-24)
📝 Soru 10: Kapalı Aralıkta Maksimum/Minimum
Detaylı Çözüm: [-3, 1] aralığında f(x) = -x2 + 4x fonksiyonu analiz ediliyor.
Önce tepe noktasının apsisine (r) bakalım: r = -b / 2a = -4 / -2 = 2.
Dikkat! r = 2 değeri, incelenen [-3, 1] aralığının dışındadır. Bu nedenle tepe noktasındaki k değerini alamayız.
Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri için sadece aralığın uç noktalarına bakmalıyız:
f(-3) = -(-3)2 + 4(-3) = -9 - 12 = -21 (Minimum değer).
f(1) = -(1)2 + 4(1) = -1 + 4 = 3 (Maksimum değer).
İkisinin toplamı: 3 + (-21) = -18.
💡 İpucu: Kapalı aralık sorularında ilk kontrol etmeniz gereken şey, tepe noktasının (r) o aralığın içinde olup olmadığıdır.
⚠️ Dikkat: r=2'yi körü körüne yerine yazıp k=4'ü maksimum değer olarak alsaydınız sonuç hatalı çıkardı.
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Öğrencinin "maksimum" kelimesini görünce direkt tepe noktası (k) aramaya odaklanmasını ve aralık kısıtlamasını unutmasını kullanır.
✅ Yanıt: B (-18)
📝 Soru 11: Parabol İçinde Dikdörtgen Alanı
Detaylı Çözüm: Şekilde y = x2 parabolü ve y = 8 doğrusu arasında kalan ABCD dikdörtgeni var. Parabol y eksenine göre simetriktir.
B noktasının apsisine a diyelim. B parabolün üzerinde olduğu için koordinatları B(a, a2) olur.
Dikdörtgenin taban uzunluğu (AB) simetriden dolayı 2a'dır.
Dikdörtgenin üst kenarı y=8 doğrusundadır. Bu nedenle dikdörtgenin yüksekliği 8 - a2 olur.
Alan = Taban * Yükseklik = 2a * (8 - a2) = 16a - 2a3.
Alan 16 olarak verilmiş: 16a - 2a3 = 16 → 2a3 - 16a + 16 = 0 → a3 - 8a + 8 = 0.
Bu üçüncü dereceden denklemde şıkları veya tam sayıları test edelim: a = 2 verirsek → 23 - 8(2) + 8 = 8 - 16 + 8 = 0. Eşitlik sağlandı.
Yani B noktasının apsisi 2'dir.
💡 İpucu: Parabol y eksenine simetrikse, sağdaki noktaya x=a diyip uzunluğu 2a almak değişken sayısını düşürür.
⚠️ Dikkat: Dikdörtgenin yüksekliğini bulurken her zaman (Üst Doğru - Alt Eğri) mantığını kullanın (8 - a2).
🎯 ÖSYM Yanıltma Mantığı: Geometri bilgilerini (alan hesabı) fonksiyon bilgisiyle harmanlayıp 3. dereceden bir denklem çözümü gerektirerek öğrenciyi zorlamak.
✅ Yanıt: C (2)